[转贴]美国斩杀线为什么刚好在1/e附近？
多个调查说明美国社会的斩杀线差不多是37％，也就是1/e附近。（搬运一个数据来源：美联储报告显示37%的美国人拿不出400美元应急现金。）
太诡异了，这背后是否必然存在一个用于描述的微分方程？
如果有，该是什么样的？为什么是1/e稳定？
我不敢信这仅仅是一个统计巧合。
这会是自发涌现的吗？
回答1:
没有任何管制的复杂系统，在极度追求效率和鲁棒性时，自然坍缩到的一个数学稳态。
所谓的1/e（约等于36.8%），在数学上最著名的应用是什么？
最优停止理论（Optimal Stopping Theory），俗称“秘书问题”或者“苏格拉底麦田问题”。
简单说：如果你要招一个秘书，想招到最好的，但你只能一个一个面试，面完就得决定录不录，不能回头。数学告诉你的最优策略是：无脑拒绝掉前37%（1/e）的人，把他们当作样本来建立标准，然后从后面的人里，选第一个比前面都强的人。
听懂了吗？
那37%的人，在数学上的定义就是——样本。
他们的存在意义，就是被系统观察和抛弃，用来给剩下的63%确立一个基准线！
把这个逻辑放到美国社会这个巨大的资本主义机器里，是不是瞬间就黑暗了起来？
那37%的底层（大概就是年薪几万刀以下，一旦失业立刻流落街头的群体），就是资本主义社会的耗材样本。
系统并不想把所有人都弄死，那样没人干活；系统也不想让所有人都过得好，那样劳动力成本太高，利润会归零。
假设 S 是社会的稳定度，P 是被剥削的程度（或者说贫困人口比例）。
恐惧驱动效率： 如果没人饿死，没人睡大街，那中间那60%的打工人就会变懒，会要求加薪，会罢工。所以必须有一部分人活在地狱里，作为活体广告展示给中间层看。这叫维持劳动纪律的必要代价。马克思管这叫产业后备军。
成本制约压榨： 如果饿死的人太多超过某个阈值，满大街都是丧尸，治安维护成本——警察、监狱、防弹玻璃就会指数级上升，甚至爆发革命，导致系统崩溃。
资本主义的算法，实际上是在求解一个泛函极值： 如何在最小化维稳成本的同时，最大化打工人的恐惧感（即劳动效率）？
在这个方程里，那个37%，就是系统鲁棒性的临界点。
这很像信息论里的熵。函数 -x \ln x 的极值点在哪里？就在 1/e 附近。 这说明什么？说明维持37%的人处于“薛定谔的死活状态”——既在这个社会里活着，又好像已经死了；既是劳动力，又是废料——这种状态下，系统能榨取的信息量，或者说从混乱中提取的秩序是最大的。
为什么是1/e稳定？
因为如果这个比例小于37%，比如只有10%的人穷，那剩下90%的人会觉得自己很安全，他们会联合起来对抗资本，资本的利润率会下降。
如果这个比例大于37%，比如50%的人都活不下去了，那社会的混乱程度（熵）会超过警察系统的控制能力，富人的资产安全就没有保障。
只有在1/e这个位置：
足够多的人在受苦，多到让你下楼买咖啡时不得不跨过流浪汉的身体，让你时刻在这个巨大的“样本库”面前瑟瑟发抖，不敢迟到早退。
足够多的人还能勉强维持生活（那63%），他们虽然也是牛马，但看到那37%的惨状，会产生一种虚幻的“优越感”和“幸存者偏差”，从而拥护这个系统，甚至会去嘲笑那37%不够努力。
他们就像挂在城门上的头颅，时刻提醒着剩下那63%的中产和准中产：看见了吗？你要是不努力996，不接受降薪，那就是你的下场。
并没有一帮共济会的大佬坐在圆桌前说“我们要把贫困线定在1/e”。
而是无数个公司、无数次裁员、无数个法案、无数次警察出警，在长达百年的博弈中，自动进化到了这个最经济、最“耐操”的比例。
任何偏离这个比例的尝试，都会被市场这只“看不见的手”给修正回来：
福利发多了，通胀就把底层打回原形。
压榨太狠了，零元购和骚乱就会逼着政府发点粮票。
最终，社会就像一个被设定好程序的各种物理粒子，自动停在了能量最低、结构最稳定的坑里。而这个坑的深度，恰好就是自然对数的底。
这才是最恐怖的。
如果是因为有人坏，那你还可以把坏人挂路灯。
但如果这是数学规律，是私有制+自由市场+极度异化后的必然数学收敛……
那你面对的不是一个暴君，而是一个冰冷的、不可违抗的物理定律。那37%的人，不是不幸，他们是这个方程里必须被牺牲掉的那个分母，为了让分子显得更有意义。
这就是现实中的完美的资本主义地狱：这里没有鬼神，只有精准得令人作呕的算术。
回答2:
因为e分之1就是所谓的“倒霉常数”。
就好像你在游戏里抽卡，百分之一出货率下你抽一百次没出货，你会认为是自己倒霉；万分之一出货率下你抽一万次没出货，你也会认为自己倒霉。
你用计算器按一下这两者的几率就会发现很接近（四舍五入均为约37%）。那么你继续带入一百万、一亿、一百亿。。。就会发现几率无限逼近e分之一。
没错，e分之一就是(1-1/n)^n的极限。
这就是随机系统自发的趋势：当成功几率和机会次数互为倒数时，约有37%的人会倒霉。
政府不有意管人民也不故意害人民时，这就是自然的常数，这就是天理。
现在你可能想问：那么咱们有没有办法不让那么多人倒霉啊？
当然有。
不让成功几率和机会次数互为倒数就可以了。机会的次数是成功率倒数的2倍，倒霉的人就只有13%了；提高到3倍，倒霉的人就只有不到5%了；提高到4倍，倒霉的人就不到2%了；提高到5倍，倒霉的人就不到1%了。
在你倒霉（用完天经地义的机会次数之后还没能成功维持生存）时多给你几次机会——这就是我国政府在做的事。
而在你倒霉（用完天经地义的机会次数之后还没能成功维持生存）时直接结束游戏——这就是美国政府做的事，也就是所谓的斩杀线。
天理就规定了37%的人要倒霉，而我们的政府就是为了人民在逆天而行。
回答3:
其实是一个非常经典的问题，在quant求职时常见的brain teaser，而且只需要基本的高等数学知识即可完成。
这个问题的基础版本包括但不限于：假设十年时间里每年都不重复地谈一次恋爱，那么选择在第几次结婚？
去麦田摘麦穗，假设每棵麦穗只能经过一次，怎么找出最大的麦穗？
这类问题都有一个共同点，即：给定数量的样本范围，在每个样本只有一次观察的机会（即要么选择要么放弃）的前提下，如何操作，使得找出最优样本的概率最大？
这里找出最优解需要考虑三个点，首先，我们希望考察这个样本集合的大致水平，以便尽可能估计最优样本的水平，为实现这个目的，需要预先观察若干个样本，观察后再进行选择；其次，对每个样本，观察机会只有一次，自然希望最优解没有出现在预先观察的样本集合中；最后，在完成对样本的预先观察后，只要新观察的样本比预先观察集合中的局部最优样本更好，就视为全部样本中的最优解，结束观察，那么自然希望次优解出现在预先观察的样本集合中，并假设次优解出现在最优解之前。
明确了这三点，就可以开始解决这个问题了，问题求解如下:
样本集合为 \left\{ X_{i} \right\}(1\leq i\leq n) ，预先观察的样本集合为 {X_{i}}(1\leq i \leq k) ，记
X_{j}=max{X_{i}} (1\leq i \leq n) ， X_{l}=X_{(n-1)} ，观察k个样本后找出最优样本的概率为 P_{k} .
由前述第二个点， k
这个图像眼熟了一些吗？
是不是很接近自然界的各种螺线？
大自然的对数螺旋
在几种自然现象中，你会发现几乎是对数螺旋的曲线。比如：
鹰找到猎物：他们最清晰的视野与他们的飞行方向有一定的角度。这个角度与对数螺旋的夹角相同。
昆虫到光源：它们习惯于将光源与飞行路径保持恒定角度。通常，太阳（或夜间物种的月亮）是唯一的光源，以这种方式飞行将导致几乎直线。 但是人造光源离得太近，虽然它们夹角恒定，但是会导致越飞越近造成飞蛾扑火的现象。
螺旋星系的臂。我们的银河系，有几个螺旋臂，每个螺旋都大致是一个对数螺旋，螺距约为12度。
角膜神经 （这是几种不同动物的角膜神经，以对螺旋模式在角膜的浅表皮层附近终止）。
热带气旋，例如飓风。
许多生物结构，包括软体动物的壳。
由此可见e在自然界存在非常广泛，但是这还不是它叫做自然底数的原因。
e是这样定义的：
当n趋近于无穷大时,(1 + 1/n)^n的极限,即e = lim_{n→∞} (1 + 1/n)^n
它之所以叫自然底数，源自它那古希腊哲学一般的形式美感：e 的一个重要性质是它是唯一一个使得其导数等于自身的数。也就是说：
函数 f(x)= e^x的导数 f′(x)也等于 e^x
这使得它在微积分和数学分析中非常重要。
简单来说，我们可以认为e的本质是连续不断的增长（或衰减）。
现实世界中，极少有事情是像光电效应一样到一定数值才激发，大多数事情（细菌分裂、谣言传播、资产增值）是每分每秒都在发生的。所以用到e的地方会很多。
比如假设你有 1 块钱，银行很大方，年利率 100%。
一年结一次息： 年末你有 2 块钱。
半年结一次息，到了年底你就有 ：
(1+1/2)2=2.25(1+1/2)2=2.25
每天结一次息，到了年底你就有 ：
(1+1/365)365≈2.714(1+1/365)365≈2.714
要是银行用电脑给你每秒、每毫秒、连续不断地结息呢？
那到了年底你就有 \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e \approx 2.71828…
这就是这就是连续复利公式的由来 :
A = P ⋅ e ^r t
它告诉我们，靠“利滚利”的频率来增加财富是有天花板的。
你在一年的时间里不能通过无限次地结算利息来把 1 块钱变成 100 万，宇宙的极限锁死在了 2.718 倍左右（在 100% 利率下）。
那么，复利增长可以用e，价值衰减能不能用e呢？
也是可以的。
我经常在网上买二手的东西电子产品，会发现一个有趣的现象。
所有新的电子产品，只要拆开激活使用就开始贬值，不管你是用一次还是十几次，都会跌一个让你肉疼的价格，大几千的新机器，使用几次后不是你降价几十或者100块钱就能卖出去的，比如我买了一个12月1日才激活仅使用过一次的无人机，原价1500，卖家最终1200出售。
大多数电子商品使用一年左右，价格会跌到原价的一半以上。
但是你这个时候买二手的再用两个月，价格不会变成原价的1/4，而是依然能以差不多始发价半价卖出去。
其实仔细算算并非一半，而是接近36.8%，也就是e的倒数1/e。
举个例子，你今天买了一个一万的新苹果手机，但是你打开激活的一瞬间就开始贬值了。
你支付的购置税、保修、新手机溢价等费用，在转手时没人会考虑。
这部分贬值是即时且剧烈的，通常在第一个月就能损失原价的 10% 到 20% 甚至更高。
也就是说不管你是开了一周还是一个月，要卖的话估计都要有10%左右的跌价损耗。
过了这个剧烈衰减期间，后面价格的变化就按照指数衰减：
V(t) = V_0 \cdot e^{-kt}
V指的是商品的初始价值（比如新车的购买价）。
k衰减率常数。这个值越大，商品贬值越快。
这个公式意味着你买的商品的价值不是固定数量的减少，也不是固定百分比的减少（比如每年都减少几千块钱），而是每单位时间减少一个固定百分比。而正是这种“连续复利式”衰减的数学基础。
假如我们取k=1，单位时间一年，也取做1。
那么我们的苹果手机一年后会贬值到原价格的1/e，就约等于36.8%
当然，现实生活中苹果贬值没这么快，这里单位时间要久一点。
我这里找了一个我2021年买的苹果12：
当时的价格是4879，如果我现在放到二手平台能卖多少呢？
最近的最高成交价是1807左右（且品相完美），意味着高于这个价格可能就很难卖出了。
那么这个价格就是1807/4879≈37%
看，我们的37%出现了！
很有趣是吧。
只要增长或者衰减是连续的，我们总是很容易的能找到e能见缝插针的地方。
所以回到我们的斩杀线上。
37%的概率恰恰是数学上的最优停止理论。
这其实跟苏格拉底捡麦穗是一样的概率。
相传，苏格拉底的三个弟子曾向他请教如何找到最理想的伴侣。
苏格拉底并未直接回答，而是让他们走进一片麦田，要求他们分别从中选择一支最大的麦穗，且只能摘一次，不能回头。
第一个弟子刚走几步就摘了一支自认为最大的麦穗，但后来发现后面还有更大的，于是遗憾不已；
第二个弟子则一路犹豫不决，最终空手而归；
第三个弟子则吸取前两人的教训，他先观察麦穗的大小，分出大、中、小三类，然后在最后三分之一的路程中果断选择了比参照物更大的麦穗，最终满意而归。
假设一共有N个麦穗（可以预见，N这个数字很大）如果你随机选，选中的概率是 1/N
如果你把所有麦穗都看完，你只能选最后一个，但它未必是最大的。
数学家的策略（37%法则）：
你应该把前 37%（准确地说是 1/e）的数据作为“观察样本”。
对这前 37% 的麦穗，无论多大，统统不要，但记下它们中最大的一个X
从第 37% 个麦穗之后开始，一旦遇到一个比X大的麦穗，立即采下来，能确保你采的麦穗在策略上是最大的。
数学证明，使用这个策略，你选中最大麦穗的概率，竟然也刚好是 37%（准确地说是 1/e）左右。
这说明37%就是在不确定性面前，人类能达到的数学极限。
也就是说，斩杀线37%可能确实是巧合，但是如果我们真打算淘汰一些人，留下那些比较好，那么淘汰最底下的37%可能就是社会达尔文丛林里给出的终极答案了。
抽卡也是同样的道理，当样本量足够大（趋向于无穷大）时，如果你有 1/n的概率中奖，尝试 n次，你一次都中不了的概率，就是 1/e，也就是 36.8%左右。
也就是说1/100的抽中概率，你抽100次一次也不中的概率居然高达36.8%，正因为如此，游戏厂商才要设置保底，免得你卸载游戏。
自然底数e就是这么神奇啊~